Question

从1加到(n-1)怎么化简

Answer 1

所以1^2+2^2+3^2++n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^2+2^2+3^3+......+(n-1)^2+n^2是一样的，
根据立方差公式得
n^3-(n-1)^3==3n^2-3n+1
(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-1)^2-3(n-1)+1
2^3-1^3=3*2^2-3*2+1
1^3-0^3=3*1^2-3*1+1以上左右两端分别相加得

n^3=3[1^2+2^2+....n^2]-3[1+2+...n]+n
所以3[1^2+2^2+...n^2]=n^3+3[n(n+1)/2]-n=[2n^3+(3n^2+3n)-2n]/2=(2n^3+3n^2+n)/2=n(n+1)(2n+1)/2


所以1^2+2^2+3^2++n^2=n(n+1)(2n+1)/6
用类似的方法可以求更高次幂的和。
原理：
最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：
证明当n=1时命题成立。
假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。