Question

矩阵的n次方是什么？

Answer 1

矩阵的n次方是：利用特征值与特征向量，把矩阵 A 写成 PBP^-1 的形式，其中P为可逆矩阵，B 是对角矩阵，A^n = PB^nP^-1 。

例如：

计算A^2,A^3 找规律, 用归纳法证明。

若r(A)=1, 则A=αβ^专T, A^n=(β^Tα)^(n-1)A。

注：β^Tα =α^属Tβ = tr(αβ^T)。

用对角化 A=P^-1diagP。

A^n = P^-1diag^nP。

方程组的解与矩阵（增广、系数）秩的关系：

只有当系数矩阵和增广矩阵的秩相等时方程组才有解.且对应齐次线性方程组的基础解系所含解的个数为n-r(系数矩阵).具体总结如下：设A为系数矩阵,（A,b）为增广矩阵。

秩（A)<秩（A b) 方程组无解。

r（A)=r（A b)=n，方程组有唯一解。

r（A)=r（A b)<n，方程组无穷解。