怎样求复合函数的导数呢?
用泰勒公式将cosx在x0=0处展开得:
cosx=1-x^2/2+x^4/4-x^6/6+...+(-1)^nx^2n/2n...
从而1-cosx=x^2/2-x^4/4+x^6/6+...+(-1)^nx^2n/2n...
故x^2/2是1-cosx的主部。
所以lim[(1-cosx)/(x^2/2)]=1(x→0),由等价无穷小量的定义可知1-cosx与x^2/2为等价无穷小量,即cosx-1和-(x^2)/2是等价无穷小量。
1、复合函数的导数求法
复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数。
即对于y=f(t),t=g(x),则y'公式表示为:y'=(f(t))'*(g(x))'
例:y=sin(cosx),则y'=cos(cosx)*(-sinx)=-sinx*cos(cosx)
2、(lnx)'=1/x、(e^x)'=e^x、(C)'=0(C为常数)
3、导数的四则运算规则
(1)(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)
例:(x^3-cosx)'=(x^3)'-(cosx)'=3*x^2+sinx
(2)(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)
例:(x*cosx)'=(x)'*cosx+x*(cosx)'=cosx-x*sinx