Question

如何验证转动惯量的平行轴定理

Answer 1

在刚体的质心C上建立另一个与平行的连体基。质心C相对于O的矢径为。质点Pk相对于点O与C的矢径分别为与。由图5-2可见，这些矢径有如下关系
图5-2 不同基点转动惯量的关系 (5.1-5)

由于两基平行，该矢量式在基上的坐标表达式为 (5.1-5')

其中为质心C矢径在基上的坐标阵，为Pk的矢径在基上的坐标阵。将式(5.1-5')代入(5.1-2c)，有

(5.1-6)
考虑到矢径由质心C出发，由质心的矢径与质点矢径间的关系式(2.3-24)，有
在连体基的坐标式为

，，
(5.1-7)

因此式(5.1-6)右边的后两项为零。根据定义，该式右边第一项为刚体相对于Cz轴的转动惯量JCz，即
(5.1-8)

右边第二项中的为Oz轴与Cz轴的垂直距离，记为hz。这样式(5.1-6)变为
(5.1-9)

同理可得
(5.1-10)

式(5.1-9)与(5.1-10)描述的是刚体转动惯量的平行轴定理：刚体对任意轴的转动惯量等于它对过质心的平行轴转动惯量加上刚体的质量与两轴垂直距离平方的乘积。

利用同样的方法可得到刚体关于O惯性积与关于C惯性积间的关系式
(5.1-11a)

(5.1-11b)