Question

求由曲线y=2x-x²，与y=x所围区域面积，并求此平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积

Answer 1

求由曲线y=2x-x²，与y=x所围区域面积，并求此平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积
先求曲线交点： 解得： [{x: 0}, {x: 1}] 交点为：(0, 0) 面积的积分式为： ∫(2x-x²-x)dx 根据积分公式，可得： 面积为：0 旋转体的体积的积分式为： ∫πy²dx 根据积分公式，可得： 体积为：0

Answer 2

曲线y=2x-x²，与y=x交于点A(1,1),O(0,0).
由曲线y=2x-x²，与y=x所围区域面积
S=∫<0,1>(2x-x^2-x)dx
=1/2-1/3=1/6.
此平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积
V=∫<0,1>π[(2x-x^2)^2-x^2]dx
=π∫<0,1>(3x^2-4x^3+x^4)dx
=π(1-1+1/5)
=π/5.