Question

证明：方程X=aSinX+b(a>0 b>0)至少有一个正根,并且它不超过a+b..

Answer 1

证明:
1.数形结合法
观察直线y1=x和正弦曲线y2=asinx+b(a＞0.b＞0)
当x=0时.y1=0.y2=b＞0.直线y1=x上点(0.0)在正弦曲线y2=asinx+b上点(0.b)之下.
当x=a+b时.y1=a+b.y2≤a+b(当a+b=π/2时等号成立).
如果y2＜a+b.则直线y1=x上点(a+b.a+b)在正弦曲线y2=asinx+b上点(a+b.asin(a+b)+b)之上.
直线与正弦曲线在第一象限必有一交点.
即方程x=asinx+b(a＞0.b＞0).至少有一个正根.
如果y2=a+b.则直线y1=x与正弦曲线y2=asinx+b上交于点(a+b.a+b).
a+b就是方程x=asinx+b(a＞0.b＞0)的一个正根.
又y2=asinx+b的最大值就是a+b.
所以方程的根不大于a+b.
2.高数证法:
因为|sinx|＜=1.所以b-a＜=asinx+b＜=a+b.所以若有根.必不超过(a+b)
设f(x)=asinx+b-x.
则f(0)=b＞0.f(a+b)=asin(a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0.
又f(x)在(0.a+b]内是连续函数.所以存在一个x0∈(0.a+b].使f(x0)=0.即x0是方程f(x)=0的根.也就是方程x=asinx+b的根.
因此.方程x=asinx+b至少存在一个正根.且它不大于a+b