Question

数学导数题

函数f(x)在[1,2]有二阶导数，f(2)=0,F(x)=(x-1)²f(x).则f``(x)在[1,2]上是否有零点？

Answer 1

F(x)在[1,2]上连续，（1，2）内可导且F(1)=F(2)
由罗尔定理，至少存在一点x。∈(1,2],使F`(x。)=0，
又F`(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)²f`(x).则F`(x。）=F`(1)
则，F`(x)在[1,x。]上满足罗尔定理条件，
所以，至少存在x`∈（1,x。）∈(1,2)上使F``（x`)=0,
所以至少存在一个零点

Answer 2

有零点。
简证：第一步，对F（x）在[1,2]上用罗尔定理，可得，
至少存在一点ξ属于（1，2），使得F′（ξ）=0；
第二步，注意到F′（x）=2（x-1）f（x）+（x-1）（x-1）f′（x），
F′（1）= F′（ξ）=0，
对F′（x）在[1, ξ]上用罗尔定理，可得，
至少存在一点η属于（1，ξ）含于（1，2）含于[1，2]，使得F′′（η）=0。证毕。