Question

如何判断函数在区间内连续，是否存在零点？？

Answer 1

证明：不妨设 ，f(b)>0.令

E={x|f(x)≤0,x∈[a,b]}.

由f(a)<0知E≠Φ,且b为E的一个上界，于是根据确界存在原理，

存在ξ=supE∈[a,b].

下证f(ξ)=0（注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此时必有ξ∈(a,b).）.事实上，

(i)若f(ξ)<0,则ξ∈[a,b).由函数连续的局部保号性知

存在δ>0,对x1∈(ξ,ξ+δ):f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE,

存在δ>0,对x1∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在x1为E的一个上界，且x1<ξ,

这又与supE为E的最小上界矛盾。即推得f(ξ)=0。

定理的含义：

（1）函数在区间[a，b]上的图象连续不断，又它在区间[a，b]端点的函数值异号，则函数在[a，b]上一定存在零点

（2）函数值在区间[a，b]上连续且存在零点，则它在区间[a，b]端点的函数值可能异号也可能同号

（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数