Question

抛物线 与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线 与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． （1）求A、B

抛物线 与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线 与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
抛物线解析式为：y=x^2-2x-3,直线是L

Answer 1

解：
（1）令y=0，解得 x=-1或x=3
∴A（-1，0）B（3，0）
将C点的横坐标x=2代入 得y=-3，
∴C（2，-3）
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1
（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1）
E（ x,x²-2x-3)
∵P点在E点的上方，PE=(-x-1)-(x²-2x-3) =-x²-x+2
∴当 x=1/2时，PE的最大值= 9/4
（3）存在4个这样的点F，分别是(1,0)，（-3,0），（4+√7,0），（4-√7,0）

Answer 2

(1)
y=x^2-2x-3=0
则xb= 3,xa=-1(A点在B点左侧)
则B（3，0），A（-1，0）
因C在抛物线上，且xc=2
则yc=xc^2-2xc-3=-3
则C（2，-3）
AC直线斜率(-3-0)/(2+1)=-1,
则AC直线方程y=-x-1(点斜式)

(2) 设P(x,-x-1),且-1<=x<=2,
则E(x,x^2-2x-3)
则|PE|=|（-x-1）-（x^2-2x-3)|=|-x^2+x+2|=|-（x-1/2)^2+9/4|
当x = 1/2，|PE|max=9/4

(3)
存在4个点F
本题可转化为，求一条过AC中点P（1/2，-3/2）的直线，截抛物线于G，截x轴于F，使得FP=GP。
设斜率为k
直线为y+3/2=k(x-1/2)
则F(1/2+3/2k,0),G((k-2)(+/-)√(k^2-6k+10),y0)
Xf+Xg=2Xp-------P是中点
=>1/2+3/2k+(k-2)(+/-)√(k^2-6k+10)=1
=>k=3, -3/7, (21-6√7)/21,(21+6√7)/21
=>Xf=-3,1,4+√7,4-√7
=>存在4个这样的点F，分别是(-3,0) (1,0) (4+根号7) (4-根号7)

Answer 3

fvbdxfv