Question

数学数列21

已知｛an｝为等差数列，前10项的和S10=100，前100项的和=10，求前110项的和S110

Answer 1

在解这道题前先介绍一个等差数列重要的性质：
等差数列{an}的前n项和为Sn,Sp=q,Sq=p,p≠q,则S(p+q)=-(p+q)

证明：由题意，
q=Sp=a1+a2+...+ap=pa1+p(p-1)d/2
p=Sq=a1+a2+...+aq=qa1+q(q-1)d/2
两式相减，得到
q-p=(p-q)[a1+(p+q-1)d/2]
因为p≠q，故
a1+(p+q-1)d/2=-1
因此
S(p+q)=a1+a2+...+a(p+q)=(p+q)(a1+a(p+q))/2
=(p+q)(a1+a1+(p+q-1)d)/2
=(p+q)(a1+(p+q-1)d/2)
=(p+q)*(-1)
=-(p+q)

那么回正题：
因为S10=100,S100=10
所以S110=S(10+100)=-(10+100)=-110

Answer 2

因为S10=100
所以（a5+a6）/2=10......(1)
又因为S100=10
所以（a50+a51）/2=1/10......(2)
(2)-(1)得45d=-99/10，其中d为公差
即d=-11/50
所以（a55+a56）/2=1/10+5d=-1
S110=-110为所求