Question

设f(x)是定义在R上的函数，且对于任意x、y∈R，恒有f(x+y)=f(x)f(y)，且x>0时，f(x)>1。证明：f(x)是R上的

调增函数。

Answer 1

证明：当x=y=0时，f(0+0)=f(0)f(0)=f(0）
有f(0)=0或f（0）=1
当x=0，y=1时，f（0+1）=f（0）f（1）=f（1）
因为1>0，所以f（1）>1。即有f（0）=1
有f（x-x)=f(x)f(-x)=f(0)=1
f(x)=1/f(-x);对于任意的x,f（x）>0.
任意取x1，x2且x1>x2即x1-x2>0
f(x1-x2)=f(x1)f(-x2)=f(x1)/f(x2)>1
f(x1)>f(x2)
由定义得：f(x)是R上的增函数

Answer 2

由f(x+y)=f(x)f(y)可得到
f(x+1)=f(x)f(1)
又f(1)>1
即f(x+1)>f(x)*1
即得到
f(x+1)-f(x)>0