Question

几何数学题

已知在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC上的点，且AF平分∠DAE 求证AE=EC+CD
附图：

Answer 1

做辅助线，如图

三角形AHF 全等 三角形AFD  （都有直角，和一对相等角，同边AF。角角边）

所以HF=DF，因为DF=CF  

           所以HF=CF    三角形HEF 全等 三角形CFE (HL)

                         所以EH=EC

                         正方形中CD=AD=AH，  

                         AE=AH+EH=EC+CD

Answer 2

证明：如图

∠1=∠2

∠3=90-2∠1

设正方形的边长为a

那么PA=a/cos（90-2∠1）

DQ=atan∠1

PB=atan（90-2∠1）

PA=a/sin2∠1

PB+DQ=actg2∠1+atan∠1=a(cos2∠1/sin2∠1+sin∠1/cos∠1)

=a(cos2∠1/sin2∠1+2sin²∠1/2sin∠1cos∠1)

=a[cos2∠1/sin2∠1+(1-cos2∠1)/sin2∠1)

=a/sin2∠1

所以

PA=PB+DQ

你看一下此题，也许有所帮助

Answer 3

在AE上截取一点P使AP=AD，连接FP
因为AP=AD，∠DAF=∠PAF，AF=AF
所以三角形DAF全等于三角形PAF
所以DF＝PF，∠APF＝∠ADF＝90°
所以AE＝AP＋PE=AD＋PE＝PE＋CD
连接EF
因为FP=DF=FC，FE=FE
所以直角三角形FPE全等于直角三角形FCE
所以PE=CE
因为AE=PE+CD，
所以AE=EC+CD

Answer 4

做FH⊥AE,垂足为H,∠AHF=90°，联结EF

因为是正方形，所以∠D=∠C=90°,AD=DC
又AF平分∠DAE ，所以∠DAF=∠EAF

在RT△ADF与RT△AEF中。
∠AEF=∠D,
AF=AF
所以RT△ADF全等于RT△AEF
所以AD=AH,即CD=AH

又可证RT△FHE全等于RT△FCE
所以HE=EC.

所以AE=AH+EH=CD+EC
得证。