Question

求与圆x^2+y^2-2x=0外切且与直线x+√3y=0相切于点M(3,-√3)的圆的方程.

Answer 1

设所求圆圆心为D（a,b）,半径为r.
∵x²＋y²－2x＝0
∴(x－1)²＋y²＝1
∴圆心C（1,0）,R＝1
∵⊙D直线x+√3y=0相切于点M(3,-√3),其斜率为﹣√3／3
∴切线OM⊥MD (O为直角坐标系原点)
∴(b＋√3)／(a－3)•(﹣√3／3)＝﹣1 （互相垂直的直线的斜率的积等于﹣1）
∴(b＋√3)／(a－3)＝√3
∴等式两边同时乘以√3,得 (√3b＋3)(a－3)＝3
∴等式两边同时加1,化简得 (a＋√3b)／(a－3)＝4
∴ a＋√3b＝4(a－3) •••••••••••••••••••• ①
∵ 点D(a,b)到直线OM的距离等于半径 r
∴ r ＝| a＋√3 b |／2 •••••••••••••••••••••• ②
∴ ①代入② 得 r＝| a＋√3b |／2 ＝| 4(a－3) |／2＝2| a－3 |
由题意得 a＞3 ∴r＝2(a－3) •••••••••••••③
∵⊙C与⊙D外切
∴CD＝R＋r
即 CD²＝(R＋r)²
把③代入上式,得 (a－1) ² ＋b²＝（1＋r）²＝(2a－5)²
∴(a－1) ² ＋b²＝(2a－5)² ••••••••••••④
∵ (b＋√3)／(a－3)＝√3
∴用a的代数式表示b,得b＝√3(a－4 ) ••••••••••••• ⑤
把⑤代入④,化简得 ,a＝4
∴b＝0 r＝2
故所求圆的方程（x－4)²＋y²＝4