Question

立方不等式

Answer 1

对x, y, z > 0有

x3+y3+z3-3xyz = (x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx) = (x+y+z)((x-y)2+(y-z)2+(z-x)2)/2 ≥ 0.

即x3+y3+z3 ≥ 3xyz.

对a, b, c > 0, 取x = a^(1/3), y = b^(1/3), z = c^(1/3)即得a+b+c ≥ 3(abc)^(1/3).

如果非要展开(a+b+c)3-27abc也可以, 分成以下几个不等式:

a3+b3+c3-3abc ≥ 0,

3a2b+3bc2 ≥ 6abc, 即3b(a-c)2 ≥ 0,

3b2c+3ca2 ≥ 6abc, 即3c(b-a)2 ≥ 0,

3c2a+3ab2 ≥ 6abc, 即3a(c-b)2 ≥ 0.

加起来就是(a+b+c)3-27abc ≥ 0.