Question

数学里向量的数量积怎么求？

Answer 1

向量的数量积公式：a*b=|a||b|cosθ  a,b表示向量，θ表示向量a,b共起点时的夹角，很明显向量的数量积表示数，不是向量。

一个向量和另个向量在这个向量上的投影的乘积，前提始位置要相同。        
       
       

已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2

向量的数量积公式：a*b=|a||b|cosθ,a,b表示向量，θ表示向量a,b共起点时的夹角，很明显向量的数量积表示数，不是向量。  一个向量和另个向量在这个向量上的投影的乘积，前提始位置要相同。

拓展资料

       
       

平面向量数量积

已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2

性质

设 a、b为非零向量，则

①设 e是单位向量，且 e与 a的夹角为θ，则 e·a= a·e=| a|| e|cosθ

② a⊥b= a·b=0

③当 a与 b同向时， a·b=| a|| b|；当 a与 b反向时， a·a=| a|= a或| a|=√ a·a

④|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a与b共线时，即a∥b时等号成立

⑤cosθ=a·b╱|a||b|（θ为向量a.b的夹角）

⑥零向量与任意向量的数量积为0。

运算

⑴交换律： a·b= b·a

⑵数乘结合律：（ λa）· b= λ（ a·b)= a·（ λb）

⑶分配律：（ a+b）· c= a·c+ b·c

几何意义

①一个向量在另一个向量方向上的投影

设θ是a、b的夹角，则|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在向量b方向上的投 影。

② a·b的几何意义

数量积 a·b等于 a的长度| a|与 b在 a的方向上的投影| b|cosθ的乘积

★注意：投影和两向量的数量积都是数量，不是向量。

③数量积 a·b的几何意义是： a的长度| a|与 b在 a的方向上的投影| b|cos θ的乘积。

求向量的模的方法

• 公式法，利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；

(2)几何法，利用向量的几何意义.  


       

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求向量模的最值(范围)的方法：

• 代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；

(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.