Question

圆锥曲线离心率e

为什么对于圆锥曲线，其离心率e小于1时，是一个有限的，封闭的椭圆，而离心率大于或等于1时，所得的图形是一个不封闭的，在某个方向上是无限的抛物线或双曲线呢？
请注意，我的疑问主要是说离心率与1的大小关系决竟然决定了图形的有限性或无限性，能否严格证明离心率与一的大小关系对图形是否封闭，是否有限具有决定作用，而不是单纯套用三种圆锥曲线的模型来说明问题。比如说，能否证明e大于或等于1时，曲线上的点到一个定点的距离没有极大值？

Answer 1

你应该知道，这个不是一个渐变的的关系。在椭圆的变化范围遵循的原则是，椭圆上任意一点到两焦点距离和都等于2a。离心率等于零时，这时是一个圆，两个焦点都在圆心处，c=0，a=半径。当离心率变大时，圆开始变扁也就成了椭圆。如果按照椭圆的原则当a=c时，应该是一条直线，不是抛物线。而且按照椭圆的原则就没有c>a的时候。
这不是一个渐变的过程，椭圆，抛物线和椭圆状他们离心率的几何意义不一样。
不过要是知道在双曲线上，要证明曲线上的点到一个定点的距离没有极大值就太容易了。
不知道我说的是不是你想要问的问题，你现在上高中么?

Answer 2

e=c/a
e<1时 a为长轴 是椭圆
e=1时 a=c 是抛物线
e>1时 a<c 是双曲线