Question

1.解同余方程13x=269(mod1341)？

Answer 1

首先，我们需要求出13在模1341意义下的逆元。根据扩展欧几里得算法，可以得到：1341 = 103 × 13 + 100
13 = 100 × 0 + 13
...
13 = 11 × 100 + 3
3 = 3 × 1 + 0
因为最终余数为0，所以13和1341互质，即有逆元。而根据算法的求解过程，可以得到：
1 = 13 × (-83) + 1341 × 8
所以13在模1341意义下的逆元为-83。注意，这里我们为了方便，取了-83而非1258作为13的逆元，因为它们在模1341意义下等价。
现在，我们将方程化为同余方程：
13x ≡ 269 (mod 1341)
两边同时乘以13的逆元-83：
x ≡ (-83) × 269 ≡ -22127 ≡ 327 (mod 1341)
所以方程的解为327。