Question

形如199819981998......n个1998 123 ，且能被11整除的最小自然数n是多少

Answer 1

根据被11整除的数的性质：被11整除的数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差被11整除。

如有N个1998，形如
……19981998123 这样的数，
奇数位的和就是
3 + 1 + 9 + 1 + 9 + 1 + …… + 9 + 1
= 3 + 1 + （9 + 1）×N
= 10N + 4

偶数位的和就是
2 + 8 + 9 + 8 + 9 + …… + 8 + 9
= 2 + （8 + 9）×N
= 17N + 2

则奇偶数位和的差
= 17N + 2 - (10N + 4)
= 7N - 2 能被11整除，令等于11M

7N - 2 = 11M
N = (11M + 2)/7 = (4M + 2)/7 + M
显然4M + 2是一个被7整除的数，又是个偶数，即4M + 2是一个被14整除的数。
立即看出M最小 = 3。此时N = 5

也就是5个连续的1998，后跟123：
19981998199819981998123
这样的数能被11整除。
N最小为5。

Answer 2

被11整除的特征:奇位数字之和与偶位数字之和的差被11整除。

123的奇位数字之和=1+3=4
偶位数字之和=2
当每增加1个1998时：奇位数字之和多1+9=10
偶位数字之和多=9+8=17
有n个1998，
则 奇位数字之和=4+10n
偶位数字之和=2+17n
2+17n-(4+10n)=7n-2
∵7n-2被11整除
则n最小是5