设二维随机变量(X,Y)~N(11,2',2',0.5),令Z=X-Y,则Cov(X,Z)=？
由于(X,Y)是二维正态分布，因此X和Y的线性组合也是正态分布。根据正态分布的性质，X和Y的任意线性组合都服从正态分布。
我们有Z = X - Y，因此Z也是正态分布。Z的期望和方差分别为：
E(Z) = E(X - Y) = E(X) - E(Y) = 11 - 0 = 11
Var(Z) = Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y) - 2Cov(X, Y) = 2' + 2' - 2 × 0.5 = 3
现在我们来计算X和Z的协方差。根据协方差的定义，有：
Cov(X, Z) = E(XZ) - E(X)E(Z)
其中，E(XZ)是XZ的期望。我们可以使用二维正态分布的联合分布函数来计算期望：
E(XZ) = ∫∫ xz f(x,y) dxdy
其中f(x,y)是(X,Y)的概率密度函数。
根据题目中的信息，(X,Y)~N(11,2',2',0.5)，因此：
f(x,y) = (1/2π2'2') × exp[-(1/2(1-0.52))[((x-11)/2')2 - 2 × 0.5 × (x-11)(y-0) + ((y-0)/2')2]]
将f(x,y)代入上式，得到：
E(XZ) = ∫∫ xz f(x,y) dxdy
= ∫∫ xz × (1/2π2'2') × exp[-(1/2(1-0.52))[((x-11)/2')2 - 2 × 0.5 × (x-11)(y-0) + ((y-0)/2')2]] dxdy
由于X和Y都是连续型随机变量，我们可以交换积分的顺序，得到：
E(XZ) = ∫∫ xz × (1/2π2'2') × exp[-(1/2(1-0.52))[((x-11)/2')2 - 2 × 0.5 × (x-11)(y-0) + ((y-0)/2')2]] dydx
= ∫(-∞,∞) ∫(-∞,∞) x(x-y) × (1/2π2'2') × exp[-(1/2(1-0.52))[((x-11)/2')2 - 2 × 0.5 × (x-11)(y-0) + ((y-0)/2')2]] dydx
注意到这是一个偶函数，因此可以化简为：
E(XZ) = 2∫(0,∞) ∫(-∞,∞) x(x-y) × (1/2π2'2') × exp[-(1/2(1-0.52))[((x-11)/2')2 - 2 × 0.5 × (x-11)(y-0)((y-0)/2')2]] dydx
(1/2π2'2') ∫(0,∞) ∫(-∞,∞) xy × exp[-(1/2(1-0.52))[((x-11)/2')2 - 2 × 0.5 × (x-11)(y-0) + ((y-0)/2')2]] dydx
现在我们将式子展开并分离出两个积分：
E(XZ) = (1/2π2'2') ∫(0,∞) ∫(-∞,∞) x2 × exp[-(1/2(1-0.52))[((x-11)/2')2 - 2 × 0.5 × (x-11)(y-0) + ((y-0)/2')2]] dydx
第一个积分可以用X的二次中心矩来表示，即：
E(X2) = ∫(0,∞) ∫(-∞,∞) x2 × (1/2π2'2') × exp[-(1/2(1-0.52))[((x-11)/2')2 - 2 × 0.5 × (x-11)(y-0) + ((y-0)/2')2]] dydx
根据正态分布的性质，X的期望和方差分别为：
E(X) = 11
Var(X) = 2'
因此，X的二次中心矩为：
E(X2) = Var(X) + E(X)2
= 2' + 11^2
第二个积分可以用X和Y的二阶混合矩来表示，即：
E(XY) = ∫(0,∞) ∫(-∞,∞) xy × (1/2π2'2') × exp[-(1/2(1-0.52))[((x-11)/2')2 - 2 × 0.5 × (x-11)(y-0) + ((y-0)/2')2]] dydx
根据正态分布的性质，X和Y的任意线性组合都服从正态分布。因此，我们可以将(X,Y)转化为一个新的二维正态分布：
(X',Y') = ((X-E(X))/sqrt(Var(X)), (Y-E(Y))/sqrt(Var(Y)))
其中，E(X)和Var(X)分别是X的期望和方差。类似地，E(Y)和Var(Y)分别是Y的期望和方差。显然，E(X') = 0，Var(X') = 1，E(Y') = 0，Var(Y') = 1。
我们可以将X和Y表示为X'和Y'的线性组合：
X = sqrt(Var(X)) X' + E(X)
Y = sqrt(Var(Y)) Y' + E(Y)
因此：
XY = sqrt(Var(X)) sqrt(Var(Y)) X'Y' + sqrt(Var(X)) E(Y') X' + sqrt(Var(Y)) E(X') Y' + E(X)E(Y)
注意到E(X') = E(Y') = 0，因此：
E(XY) =sqrt(Var(X)) sqrt(Var(Y)) E(X'Y') + E(X)E(Y)
= Cov(X',Y') × sqrt(Var(X)) × sqrt(Var(Y)) + E(X)E(Y)
现在我们来计算Cov(X',Y')，即X'和Y'的协方差。根据题目，X和Y的协方差为0.5，即：
Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
= E(XY) - E(X)E(Y)
= 0.5
将X和Y表示为X'和Y'的线性组合，并根据线性变换的协方差公式，有：
Cov(X',Y') = Cov(sqrt(Var(X)) X' + E(X), sqrt(Var(Y)) Y' + E(Y))
= sqrt(Var(X)) sqrt(Var(Y)) Cov(X',Y')
因此，Cov(X',Y') = Cov(X,Y) / (Var(X) × Var(Y))1/2
= 0.5 / (2' × 2')1/2
最后，我们可以计算Cov(X,Z)：
Cov(X,Z) = Cov(X,X-Y)
= Cov(X,X) - Cov(X,Y)
= Var(X) - Cov(X,Y)
= 2' - 0.5
= 1.5
因此，Cov(X,Z)的值为1.5。
