Question

什么是函数的一致连续性?

Answer 1

函数一致连续性的判别方法如下：

若f(x)在区间上(a,b)（可以是闭区间，开区间，或者无限区间）上连续，且其一阶导数有界，即存在M>0，使得|f'(x)|<=M，则f(x)在区间(a,b)上一致连续。

f(x)=e^x，在(0,+∞)上，f‘(x)=e^x显然是无界的，所以e^x在(0,+∞)是非一致连续的。但是在闭区间上它是一致连续的。所以一致连续的判断还要看它所取区间。

用一致连续的定义当然能解决所有函数一致连续性的判定，但是用定义证明往往需要很高的技巧，而且在本身不知道是否一致连续时，就更加困难了。

因此在判定是否一致连续时，使用相关的定理会使问题变得简单的多。首先闭区间上连续的函数一定一致连续，这自不必说。对于有限开区间，也有很好的定理，由于是充要条件，所以这个定理完全解决了有限开区间上一致连续的判断问题。

所以判断一致连续的困难就在于无限开区间，它也有相关的定理。注意第一条不是一致连续的必要条件，例如y=x在x趋于无穷时无有限极限，甚至无界，但也是一致连续的，另外有界也不能保证一致连续，例如y=sinx^2。用这三个定理可以很方便的解决绝大多数函数一致连续的判定问题。