Question

有哪些函数是满足f(x)是定义域为r的奇函数指的是f(x+1)是偶函数？

Answer 1

设函数 f(x) 的定义域为 R（实数集），如果 f(x+1) 是偶函数，则有：
f(x+1) = f(-(x+1)) = f(-x-1)
又因为 f(x) 是奇函数，所以有：
f(-x-1) = -f(x+1)
将上述两式结合起来，得到：
f(x+1) = -f(x+1)
即：2f(x+1) = 0
因此，对于任意实数 x，有 f(x+1) = 0，即 f(x) 在周期为 1 的区间上为零。这个性质不仅是偶函数和奇函数的性质，也是周期函数的性质。
综上所述，任何一个定义域为 R 的满足 f(x+1) 是偶函数且 f(x) 是奇函数的函数，其在周期为 1 的区间上必须为零函数。具体来说，常见的满足条件的函数包括：
1、零函数 f(x) = 0；
2、sinc 函数 f(x) = sin(x) / x；
3、周期为 1 的三角函数的线性组合，例如 f(x) = cos(2πx) - cos(4πx)；
4、满足上述条件的任意两个函数的和。

Answer 2

• 答：满足条件的函数有：
  
  1. $f(x)=\cos(\pi x/2)$
  
  首先容易验证 $f(x)$ 是一个奇函数，因为 $f(-x)=\cos(-\pi x/2)=\cos(\pi x/2)=-f(x)$。然后我们计算 $f(x+1)$：
  
  $$
  f(x+1)=\cos(\pi (x+1)/2)=\cos(\pi x/2+\pi/2)=-\sin(\pi x/2)
  $$
  
  容易验证 $-\sin(\pi x/2)$ 是一个偶函数，因此 $f(x)$ 满足条件。
  
  2. $f(x)=\sin(\pi x/2)$
  
  与上面的函数类似，容易验证 $f(x)$ 是一个奇函数。然后我们计算 $f(x+1)$：
  
  $$
  f(x+1)=\sin(\pi (x+1)/2)=\cos(\pi x/2)
  $$
  
  容易验证 $\cos(\pi x/2)$ 是一个偶函数，因此 $f(x)$ 满足条件。
  
  这两个函数是最简单的满足条件的例子，但是并不是唯一的。如果 $f(x)$ 是一个定义域为 $(-1/2,1/2)$ 的奇函数，那么可以通过周期延拓到整个实数轴上，使得 $f(x)$ 成为一个定义域为 $\mathbb{R}$ 的奇函数，同时保持原有的函数值。这样得到的函数 $f(x)$，满足 $f(x+1)$ 是一个偶函数。