Question

(1)设随机变量X的分布函数F(x)连续，求Y=F(X)的概率密度函数；(2)求Z=-21nF(X)的概率密度函数

Answer 1

【答案】：(1)先求Y的分布函数．因0≤F(x)≤1，单调增加，连续，故y=F(x)的反函数存在，记为F^-1(y)．
分三种情况当y＜0时，
当0≤y＜1时，F_Y(y)=P{F(X)≤y}=P{X≤F^-1(y)}=F[F^-1(y)]=y．
当y≥1时，F_Y(y)=P{F(X)≤y}=P(Ω)=1，
从而得出Y的概率密度函数；
即Y=F(X)服从[0，1]上的均匀分布．
(2)由(1)得Y～U[0，1]，而z=21ny为y的单调减函数，求其反函数，因此得出Z的概率密度
即Z服从参数指数分布。