Question

这两道数列题好难看懂？

求指导，谢谢了

Answer 1

一、
这是一个形如1/（n（n+2））的数列，我们可以先求出该数列的通项公式：
设该数列的第n项为an，则有：
an = 1/（2n-1)(2n+1)
通过分解分母可得：
an = 1/2[(2n+1) - (2n-1)]/[n(2n+1)]
化简可得：
an = 1/2[1/n - 1/(n+1)]
因此，该数列的前n项和Sn为：
Sn = a1 + a2 + … + an
= (1/2)(1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + … + 1/n - 1/(n+1))
= (1/2)(1 - 1/(n+1))
= (n/2(n+1))
因此，数列1/（1x3），1/（3×5），1/（5×7），……，1/(2n-1)(2n+1)，的前n项和为n/2(n+1)。

二、
首先，我们可以利用等比数列求和公式：
a₁+a₂+…+aₙ = a₁(1- rⁿ)/(1-r)
其中r为公比。
于是，根据题目中给出的条件，可得：
a₁(1- rⁿ)/(1-r) = 2ⁿ-1
化简得：
a₁ = (1-r)/(1-rⁿ) × (2ⁿ-1)
接下来，我们来求解a²₁+a²₂+...+a²ₙ的值。
对于任意的k，我们有：
a²ₖ = aₖ × aₖ₋₁
因此，
a²₁+a²₂+...+a²ₙ = a₁a₂+a₂a₃+...+aₙ₋₁aₙ
= a₁(1-r)rⁿ⁻² + a₁(1-r)²rⁿ⁻³ + ... + a₁rⁿ⁻²(1-r)
= a₁(1-r)(rⁿ⁻² + rⁿ⁻³(1-r) + ... + (1-r)rⁿ⁻²)
= a₁(1-r) × [(rⁿ⁻¹ - 1)/(r-1) - rⁿ⁻¹ + 1]
= a₁ × (1-r) × (1 - 1/rⁿ)
将a₁代入，得到：
a²₁+a²₂+...+a²ₙ = [(1-r)/(1-rⁿ)]² x [1 - (1/rⁿ)]
= [1 - (2/r)ⁿ + 1/rⁿ]² / [(1 - 2/r)²]
化简得：
a²₁+a²₂+...+a²ₙ = (4ⁿ-1)/3
因此，题目所求的等比数列的平方和为(4ⁿ-1)/3。