Question

f'(x)=1+f^2(x)求f(x)

Answer 1

这是一个一阶非线性微分方程，可以通过分离变量和积分的方法来求解。
将方程重写为：
f'(x) = 1 + [f(x)]^2
将方程两边分离变量：
[1 + [f(x)]^2] / (1 + [f(x)]^2) df = dx
化简得：
1 / (1 + [f(x)]^2) df = dx
对两边同时进行积分：
∫ 1 / (1 + [f(x)]^2) df = ∫ dx
左侧的积分可以进行一些代换，令 u = f(x)，则 du = f'(x) dx：
∫ 1 / (1 + u^2) du = ∫ dx
对右侧进行积分得：
arctan(u) = x + C1
其中 C1 为常数。
回代 f(x) = u：
arctan[f(x)] = x + C1
再对上述等式两边同时取反正切的反函数 tan：
f(x) = tan(x + C1)
其中 C1 为常数，这就是方程的通解。