Question

4. lim_(x0)((cosx)/(sinx)-1/x)

Answer 1

首先，我们可以将题目中的函数写成以下形式：
(f(x) - g(x))/h(x)，其中f(x) = cos(x)，g(x) = sin(x)，h(x) = x
接下来，我们要对这个函数使用极限运算的定义，即让x无限趋近于x0时，函数的值无限趋近于某个常数L。也就是说，我们要求出以下极限：
lim_(x0)((cosx)/(sinx)-1/x) = L
为了求这个极限，我们可以先将分式中的分子化简：
(cosx)/(sinx) - 1/x = (cosx - sinx)/[sinx * x]
然后，我们可以把极限写成以下形式：
lim_(x0)((cosx - sinx)/[sinx * x]) = L
接下来，我们可以使用L'Hôpital法则来求这个极限。对于分式的分子和分母，分别求导得到：
lim_(x0)((-sinx - cosx)/[sinx * x^2])
将x0代入后，分母不为0，因此可以直接代入得到：
lim_(x0)((-sinx0 - cosx0)/[sinx0 * x0^2])
我们可以发现，这个极限是一个已知的常数，即：
L = -1
因此，原来的极限等于-1。