线性方程组的通解怎么求?
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当A满秩,即r(A)=n时:
显然Ax=0,只有唯一解(零解),基础解系中,解向量个数是0=n-r。
当A不满秩时,例如:
r(A)=n-1时
Ax=0,显然有一个自由变量。
因此,基础解系中,解向量个数是1=n-r。
依此类推,可以发现r(A)+解向量个数=n。
严格证明,可以利用线性空间的维数定理。
齐次线性方程组求解步骤
1、对系数矩阵A进行初等行变换,将其化为行阶梯形矩阵。
1、若r(A)=r=n(未知量的个数),则原方程组仅有零解,即x=0,求解结束。
若r(A)=r<n(未知量的个数),则原方程组有非零解,进行以下步骤:
3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵,并写出同解方程组。
4、选取合适的自由未知量,并取相应的基本向量组,代入同解方程组,得到原方程组的基础解系,进而写出通解。
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