Question

已知函数f(x)=1/x-log2(1+x)/(1-x) 判断f(x)的单调性,并予以证明。

已知函数f(x)=1/x-log2(1+x)/(1-x)
判断f(x)的单调性,并予以证明。
能不能用一个减函数减增函数得出f（x）为减函数？？求详细解答感谢！

Answer 1

“减函数-增函数=减函数”是可以用的

增函数性质：若f(x)是增函数，则-f(x)是减函数
证明：因为f(x)是增函数，
所以x1>x2，有f(x1)>f(x2)
所以-f(x1)<-f(x2)
所以-f(x)是减函数

利用该性质解题：
首先定义域要求1+x/1-x>0，x不为零，解得-1<x<0和0<x<1
所以1+x>0,1-x>0(也就是对数里面的分式可拆开)
所以f(x)=1/x-log2-log(1+x)+log(1-x)

当-1<x<0时，1/x是减函数，log(1+x)是增函数，log（1-x）是减函数
f(x)=减函数-增函数+减函数=减函数

当0<x<1时，1/x是减函数，log(1+x)是增函数，log（1-x）是减函数
f(x)=减函数-增函数+减函数=减函数

所以f(x)在(-1,0)和(0,1)两个区间内分别单调递减，但在两个区间的并集(-(-1,0)U(0,1)中不单调（因为有1/X）

Answer 2

能用一个减函数减增函数得出f（x）为减函数
所以在其定义域x>-1且x≠0,x≠1区间上是增函数

Answer 3

不能,换元讨论