Question

已知椭圆x^2/25+y^2/9=1 ，直线l:4x-5y+40=0. 椭圆上存在一点，它到直线L的距离最小？最小距离是多少？

Answer 1

椭圆化为9x²+25y²=225.令4x-5y+t=0是椭圆的切线，代入椭圆消去y,得25x²+8tx+t²-225=0.⊿=64t²-100(t²-225)=0.===>t=±25.∴该切线为4x-5y±25=0，与4x-5y+40=0距离为15/√41,65/√41.∴最小距离为15/√41.

Answer 2

设x=5cosay=3sina其中0<=a<=2π则点（x，y）到直线4x-5y+40=0的距离D=|20cosa-15sina+40|/根号（4^2+5^2)=|25sin(b-a)+40|/根号41,其中sinb=4/5,cosb=3/5,当b-a=-π/2时距离最小为15/根号下41此时a=π/2-arcsin4/5