Question

每一个向量空间都有基对吗？为什么

Answer 1

是的，每个向量空间都有基。这个结论是线性代数理论的一个基本部分。
基（Basis）是一个向量空间（Vector Space）中的一组线性无关的向量集，它可以通过线性组合生成整个向量空间。换句话说，向量空间中的任何一个向量都可以表示为基向量的线性组合。
这是为什么每个向量空间都有基的原因：
1. 如果我们有一个只包含零向量的向量空间，那么这个空间的一组基就是空集。
2. 如果我们有一个非零向量空间，我们可以选择空间中的一个非零向量作为第一个基向量。然后，我们可以在空间中找到一个向量，它不能被第一个基向量线性表示，将其作为第二个基向量。我们可以继续这个过程，每次选择一个不能被已有的基向量线性表示的向量，直到我们无法找到更多的这样的向量。这个过程结束时，我们得到的就是一组可以生成整个向量空间的基向量。
这是基于Zorn引理的一个简化版本的说明，Zorn引理是集合论的一个重要工具，用于处理一些涉及无穷过程的问题。在这个情况下，Zorn引理保证了我们可以一直找到新的基向量，直到覆盖整个向量空间。