Question

矩阵A可对角化，则A一定可以对角化吗？为什么？

Answer 1

（1）A^2=A,即是A^2-A=0, 即A(A-E)=0, 所以R(A)+(A-E)小于或等于n,又因为A+(E-A)=E,所以R(A)+(A-E)＝R(A)+R(E-A)大于或等于n,于是R(A)+(A-E)＝n.
（2）由A(A-E)=0可知A-E的每一列都是Ax=0的解，类似地可以知道，A的每一列也都是(A-E)x=0的解.
（3）A的特征值只能是1或0. 证明如下：设λ是A的任意一特征值，α是其应对的特征向量，则有
Aα=λα, 于是(A^2-A)α=(λ^2-λ)α=0, 因为α不是零向量，于是只能有λ^2-λ＝0，所以λ＝1或λ=0
（4）矩阵A一定可以对角化. 因为A-E的每一非零列都是Ax=0的解，所以A-E的每一个非零列都是λ＝0的特征向量，同理A 的每一个非零列都是λ＝1的特征向量，再由R(A)+(A-E)＝n可知矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A可以对角化.