Question

在三角形ABC中，A+B=3C，2sⅰn(A-C )=SinB求sinA

Answer 1

根据正弦定理，有：
sinA/sinB=sinC/sin(180°-A-B)=sinC/sin(2C)
而根据A+B=3C，可得sin(2C)=sin(180°-3C)=sin3C，代入上式，
sinA/sinB=sinC/sin3C
又由2sin(A-C)=sinB，得sinB=2sinAcos(A-C)-sinA
代入上式，可得
sinA / [2sinAcos(A-C)-sinA] = sinC/sin3C
移项化简，得
sinA/sinC = 2sinAcos(A-C)-sinA/sin3C
将A+B=3C代入，可得2sinAcos2C=sinA，即
2sinAcos(3A-180°)=sinA
化简，得
2cos3A+1=0
cos3A=-1/2
其中，3A是直角三角形的一个角，即A=30°
然后代回原式，可得
sinA/sinB=sinC/sin3C
化简，得
sinA/sinB=sinC/(2sinCcosA)
sinA/sinB=1/2cosA
代入已知，得
sinA/[2sinAcos(A-C)-sinA]=1/2cosA
移项，得
sinA/[2sinAcos(A-C)]=3/2cosA
化简，得
tan(A-C)=3/4
tanA/tan(3A-C)=3/4
代入A=30°，可得sin(2C-30°)=3/5
又因为A+B=3C，所以
sinA=sin(3C-B)=sin(2C-30°)=3/5