Question

如图1，已知以点O为对称中心的正方形ABCD中，AB=2，以O为顶点作正方形OEFG和正方形ABCD全等，正方形OEFG饶

如图1，已知以点O为对称中心的正方形ABCD中，AB=2，以O为顶点作正方形OEFG和正方形ABCD全等，正方形OEFG饶点O旋转过程中OE交BC于M，OG交DC于N，连接BE，GC。
（1）说明：AB=BM+DN;
（2）判断BE与CG的关系，并说明理由；
（3）如图2，若正方形OEFG绕点O旋转过程中，D,C,F三点共线，求CF的长。

Answer 1

(1)连结OB,OC.
易知OB=OC,∠BOC=90°，∠OBM=∠OCN=45°
而∠EOG=90°
∴∠BOM=∠BOC-∠EOC=∠EOG-∠EOC=∠CON
∴△OBM≌△OCN(ASA)
∴BM=CN=CD-DN
∴BM+DN=CD=AB

(2)BE=CG且BE⊥CG，理由如下：
由（1）得∠BOE=∠COG,OB=OC,OE=OG
∴△BOE≌△COG（SAS）
∴BE=CG，∠OBE=∠OCG
∴∠OBE-∠OBC=∠OCG-∠OCD,即∠EBC=∠GCD
延长GC交BE于P
则∠BCP=90°-∠GCD=90°-∠EBC，即∠BCP与∠EBC互余
∴BE⊥CG

（3）连结OC,OF,过点O作OQ⊥CD于Q
则OQ=CQ=1，OF=2√2
根据OF²=OQ²+QF²，解得QF=√7
∴CF=QF-CQ=√7-1

Answer 2

数学报上的
(1)连结OB,OC.
易知OB=OC,∠BOC=90°，∠OBM=∠OCN=45°
而∠EOG=90°
∴∠BOM=∠BOC-∠EOC=∠EOG-∠EOC=∠CON
∴△OBM≌△OCN(ASA)
∴BM=CN=CD-DN
∴BM+DN=CD=AB

(2)BE=CG且BE⊥CG，理由如下：
由（1）得∠BOE=∠COG,OB=OC,OE=OG
∴△BOE≌△COG（SAS）
∴BE=CG，∠OBE=∠OCG
∴∠OBE-∠OBC=∠OCG-∠OCD,即∠EBC=∠GCD
延长GC交BE于P
则∠BCP=90°-∠GCD=90°-∠EBC，即∠BCP与∠EBC互余
∴BE⊥CG

（3）连结OC,OF,过点O作OQ⊥CD于Q
则OQ=CQ=1，OF=2√2
根据OF²=OQ²+QF²，解得QF=√7
∴CF=QF-CQ=√7-1

Answer 3

(1)连结OB,OC.
易知OB=OC,∠BOC=90°，∠OBM=∠OCN=45°
而∠EOG=90°
∴∠BOM=∠BOC-∠EOC=∠EOG-∠EOC=∠CON
∴△OBM≌△OCN(ASA)
∴BM=CN=CD-DN
∴BM+DN=CD=AB

2)BE=CG
由（1）得∠BOE=∠COG,OB=OC,OE=OG
∴△BOE≌△COG（SAS）
∴BE=CG
3）连结OC,OF,过点O作OQ⊥CD于Q
则OQ=CQ=1，OF=2√2
根据OF²=OQ²+QF²，解得QF=√7
∴CF=QF-CQ=√7-1

Answer 4

前两题简单
1）三角形 OBE 与OCG全等，OBM 与OCN全等
2）BE=CG
3) 过O作CD 的垂线，垂足 P，RT三角形OPF，OP=1 OF=2根号2，得PF=根号7，得CF=根号7-1