Question

如图，圆O是三角形ABC的外接圆，角BCA外角的平分线CD交圆O于点D，F为弧AD上一点，BC=AF

延长DF与BA的延长线交于E,求证：AC乘AF=DF乘EF

Answer 1

（1）如图作∠ACB平分线交AB弧于G，

又∠BCA的外角平分线交⊙O于D，
∴∠DCG = 90º，

∴DG 为直径，

又CG平分∠ACB，

∴弧AG=弧BG,

∴DG垂直平分AB，

∴BD=AD。，
所以⊿ABD是等腰三角形
⑵BC＝AF，

∴弧BC＝弧AF，

∴∠BAC = ∠FCA ，(等弧所对的圆周角相等），

∴CF∥AB，

∴DG垂直平分CF，

∴DC＝DF；

又∠FAE＝∠BDF＝∠CDA，

∠AFE＝∠DCA，

∴⊿AFE∽⊿DCA，

∴AF／EF＝DC／AC，

∴AC·AF＝DC·EF，

又DC＝DF；

∴AC·AF＝DF·EF。