Question

高中数学的最小值问题

某工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料价格为1.5元，每次购买原材料须运费600元，每公斤原材料每天的保管费为0.03元，该厂每天需消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天开始使用（即有400斤不需要保管），（1）设该厂每X天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在X天内的总保管费用Y1关于X的函数关系式。（2）求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用Y最少，并求出最小值

Answer 1

（1）每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管费，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，……第x天（也就是下次购买原材料的前一天）用掉最后的400公斤原材料需保管x－1天.
∴每次购买的原材料在x天内总的保管费用
Y1=400×0.03[1+2+3+……+（x—1）]=6x方—6x（元）
（2）由上问可知，购买依次原材料的总的费用为6x方—6x+600+1.5×400x元
∴购买依次原材料平均每天支付的总费用
Y=1∕x(6x方—6x+600)+1.5×400=600∕x+6x+594
∴y≥2倍根号下（600∕x×6x）+594+714
当且仅当600∕x=6x，即x=10时，取等号
∴该厂10天购买依次原材料可以使平均每天支付的总费用y最少，为714元.