Question

高等代数线性空间与线性变换

若W1,W2是n维线性空间V的两个线性子空间,dim(W1+W2)-1=dim(W1∩W2),证明W1+W2与其中的一个子空间相等，W1∩W2与另一个子空间相等。

Answer 1

利用

1. dim(W1+W2)>=max{dim(W1), dim(W2)} >=min{dim(W1), dim(W2)} >=dim(W1∩W2)=dim(W1+W2)-1

    

2. dim(W1)+dim(W2)=dim(W1+W2)+dim(W1∩W2)=2dim(W1∩W2)=,

3. dim(W1+W2)-1=dim(W1∩W2),

    

   ===》 

4. dim(W1+W2)=max{dim(W1), dim(W2)}

5. min{dim(W1), dim(W2)}=dim(W1∩W2)=dim(W1+W2)-1

    

追问

证明了dim(W1+W2)=max{dim(W1), dim(W2)}
min{dim(W1), dim(W2)}=dim(W1∩W2)=dim(W1+W2)-1
后怎么说明W1+W2=max(W1, W2)，W1∩W2=min(W1, W2)呢
又如果dimW1=dimW2呢

追答

• max{dim(W1), dim(W2)} >=min{dim(W1), dim(W2)}

• dim(W1+W2)>dim(W1∩W2)=dim(W1+W2)-1

• 2dim(W1∩W2)+2=2dim(W1+W2)>=dim(W1)+dim(W2)=dim(W1+W2)+dim(W1∩W2)=2dim(W1∩W2)+1

===》dim(W1+W2)=max{dim(W1), dim(W2)}
min{dim(W1), dim(W2)}=dim(W1∩W2)=dim(W1+W2)-1

然后根据与一个有限维线性空间V的维数相等的子空间是线性空间本身

证明