Question

在平面直角坐标系xoy中，点P到两点（0，-√3），（0，√3）的距离之和等于4，,设点P的轨迹为C

在平面直角坐标系xoy中，点P到两点（0，-√3），（0，√3）的距离之和等于4，,设点P的轨迹为C
（1）写出C的方程；
（2）过点（0，√3）作两条互相垂直的直线l1,l2分别与曲线C交于A、B和C、D，以线段AB为直径的圆能否过坐标原点，若能，求直线AB的斜率，

Answer 1

(Ⅰ)由题意，根据椭圆的定义可知

点P满足椭圆的定义，所以轨迹C是个椭圆，且焦点在Y轴上

焦距为2√3（即2c=2√3，c=√3） 长轴长4（即2a=4，a=2） 从而短轴长2（即2b=2，b=1）

所以轨迹C的方程为 x²+y²/4=1

(Ⅱ)设A（x1,y1） B（x2,y2）

将y=kx+1带入 x²+y²/4=1 中，化简得 (k²+4)x²+2kx-3=0

由韦达定理 可知 x1+x2= - 2k/ (k²+4) x1*x2= -3/ (k²+4)

因为A、B在直线y=kx+1上，满足直线方程，有y1=kx1+1，y2=kx2+1

所以y1*y2=（kx1+1）*（kx2+1）=k²x1x2+k(x1+x2)+1=（4-4k²）/(k²+4)

要想 OA⊥OB 则 x1x2+y1y2=0 （向量垂直，则数量积为零，数量积用坐标表示就是对应坐标乘积之和）

∴-3/ (k²+4)+（4-4k²）/(k²+4)=0 解得 k=±（1／2）

|AB|=√（1+k²）[（x1+x2）²-4x1x2]=（4√65）/17

Answer 2

解：1,由题可知2a=4，c=根号3.所以a=2,所以b=1 故有x2/4 + y2 =1