Question

Matlab中fft后的频谱幅度为什么要乘以2/N？

RT，在网上看了很多这方面的解释还是不明白，什么直流分量除以N，谐波分量除以N/2的什么采样点不同，幅值也不同，还有一些不是除以N/2而是除以fs（采样频率）等等这些问题究竟是为什么，还有我自己也验证了直接fft后的频谱不用除以任何系数，它是满足帕塞瓦尔定理的，也就是说其频谱幅度根本不需要乘以2/N什么的，fft变化后取幅值abs(fft())就是其频谱的实际幅值！我是通过帕塞瓦尔定理来验证的，而如果乘以2/N后反而不满足帕塞瓦尔定理了，这个问题困惑我一两天了，其各位高手指点一下问题的真正原因，跪谢！

Answer 1

不知你弄懂没有，这里我回答一下为什么要乘以2吧，至于为什么要除以N，我比较赞同上一个回答中用户dukinkin从积分角度来进行的理解。

以下是我对为什么要乘以2的理解，如果不对，请批评指正：

你所见到的乘以2的情景，大概是在MATLAB中fft函数的示例中，其中用到的信号是sin，比如我这里用A1=0.7, f1=50; A2=1, f2=200：X(t）=0.7sin(100*pi*t) + sin(400 * pi * t)。

不过，其实X(t)还可以表示为：

X(t)的另一种表示方法

这个表示方法看起来比较绕，但是其实它在频域是比较直观的，由此可以理解：Y=fft(X);  P2 = abs(Y/L);【这里的字母含义跟fft函数的说明文件中一样】得到的双侧振幅谱（如下图，我在运算中用到的基本参数为：采样频率1000，采样点数100）中，那几个尖脉冲就是0.35和0.5，即A1/2和A2/2

因此，在表示单侧振幅谱时，MATLAB示例想要弄成尖脉冲直接等于sin信号的幅值A1、A2的那种直观的形式，就乘2了

Answer 2

其实除以N或除以N/2
来源于将连续的运算化为离散的运算

积分的时候一般积分符号后面的表达式是f(x)dx，
就是某个函数f(x)和自变量微分dx的乘积

而写成离散求和的时候通常只写f[n]的求和，略去了与dn相乘

可以遇见的是，某个函数f(x),如果我们用离散的办法去求其积分
随着采样点的则加，离散的和就会增大
实际上正确的办法是求和时要乘上采样的间隔，就是积分区间/N

对于很多离散的积分算法，例如卷积，最后结果都要除以采样点数N才能得到正确结果

而傅立叶变化也是一种积分变换，所以得到的结果就要除以N，才是正确的

而变换后的频谱通常将0频移到中间，分为对称的为正负频率（模对称，幅角反对称）

有时表示频谱的时候只需要用其一半正频率部分就够了
所以除以N之后还要乘以2，表示把正负频率的加在一起
而0频的直流分量，本身在对称点，已经是正负相加过的，所以只用除以N

追问

先谢谢你的回答，和网上的解释大致都差不多，但如果除以N或者N/2后就不满足帕塞瓦尔定理了，这又该如何解释呢？

追答

应该是哪里定义的问题

Answer 3

其实除以N或除以N/2
来源于将连续的运算化为离散的运算

积分的时候一般积分符号后面的表达式是f(x)dx，
就是某个函数f(x)和自变量微分dx的乘积

而写成离散求和的时候通常只写f[n]的求和，略去了与dn相乘

可以遇见的是，某个函数f(x),如果我们用离散的办法去求其积分
随着采样点的则加，离散的和就会增大
实际上正确的办法是求和时要乘上采样的间隔，就是积分区间/N

对于很多离散的积分算法，例如卷积，最后结果都要除以采样点数N才能得到正确结果

而傅立叶变化也是一种积分变换，所以得到的结果就要除以N，才是正确的

而变换后的频谱通常将0频移到中间，分为对称的为正负频率（模对称，幅角反对称）

有时表示频谱的时候只需要用其一半正频率部分就够了
所以除以N之后还要乘以2，表示把正负频率的加在一起
而0频的直流分量，本身在对称点，已经是正负相加过的，所以只用除以N.

Answer 4

不知道你现在弄明白没。
MATLAB里面的FFT函数，用的是复数形式的fourier公式计算方法，返回的值是Cn。但是注意，这个Cn跟三角函数形式的fourier公式里的Cn意义不一样。前者中的Cn表示的直接就是振幅，即an与bn的平方和开平方，后者与模（an与bn的平方和开平方）相差2/N倍数。所以你如果用三角形式的fourier公式直接编程，返回Cn，能直接得到振幅，而用MATLAB自带函数FFT得到的要*2/N。。。可能几句话也讲不明白，就这样给你个思路，如果非要弄明白，你自己可以仔细看看高数里面两个Cn与an、bn的关系，自己试着推导一下。
如果有什么看法，可以再交流。