Question

有关抽象代数中群的同态基本定理的一些疑问？

我最近看美国Joseph J.Rotman写的《抽象代数基础教程》，这本书内容比较丰富，但中文版的翻译不太好，我数学基础也不好，看起来有点费力，现在有关于群的同态基本定理方面的问题：

若H和K是群G的子群，H为G的正规子群，设有函数 f:K→HK/H是满射，另外，f是同态，因为它是自然映射π:G→G/H的限制，由于ker π=H，所以ker f=H∩K，这里的ker π=H和ker f=H∩K如何得到，不太明白。
参考了几本抽象代数的教材，上面都给出了ker π=H，但没说理由。

Answer 1

kerPi的意思是“映射Pi的‘核’”。这里与线性代数中线性映射的“核”的概念差不多，都是“在Pi映射下像是运算单位元（线性代数中的运算是加法，所以单位元是0；抽代里是e）的全部原象的集合”。
H/H=e（只有加法单位元的平凡子群），当然H就是Kernel了。
至于后一个，ker f=H∩K。f的定义域是K，H是Pi的kernel，Pi的定义域是G，你不能保证H是K或者K的子群，所以当然是ker f=H∩K。这个是很自然的。

追问

H/H=e，我也这样理解的，但是，商群本质上是子群H的陪集，如果要从陪集的角度思考，该如何理解？
第二个我暂时还没想明白，谢谢。

追答

1. HH=H

2. 映射f是映射Pi在K上的限制，所以在K上Pi和f是一样的，不论性质或者结构。那么，单从K上考虑，f的Ker是Pi的Ker的一部分，直觉上这部分就是“既在K上，又在KerPi也就是H上的那些东西”，所以有ker f=H∩K。