计算曲面积分∫∫∑ z^2 dS其中 ∑为柱面x^2+y^2=4 介于0≤z≤6的部分
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考虑yz面
Σ₁：x = √(4 - y²) 或 Σ₂：x = - √(4 - y²)
dx/dy = - y/√(4 - y²)
dx/dz = 0
∫∫Σ z² dS
= 2∫∫Σ₁ z² dS，关于x前后对称
= 2∫∫D z² * √(1 + y²/(4 - y²)) dydz
= 2∫∫D z² * 2/√(4 - y²) dydz
= 8∫(0，6) z² dz ∫(0，2) 1/√(4 - y²) dy
= 8 * z³/3 |(0，6) * arcsin(y/2) |(0，2)
= (8/3)(216)(π/2)
= 288π
Σ₁：x = √(4 - y²) 或 Σ₂：x = - √(4 - y²)
dx/dy = - y/√(4 - y²)
dx/dz = 0
∫∫Σ z² dS
= 2∫∫Σ₁ z² dS，关于x前后对称
= 2∫∫D z² * √(1 + y²/(4 - y²)) dydz
= 2∫∫D z² * 2/√(4 - y²) dydz
= 8∫(0，6) z² dz ∫(0，2) 1/√(4 - y²) dy
= 8 * z³/3 |(0，6) * arcsin(y/2) |(0，2)
= (8/3)(216)(π/2)
= 288π
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