Question

抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F，已知A,B为抛物线上的两个动点

抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F，已知A,B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN垂足为N，则丨MN丨/丨AB丨的最大值为？求详细过程。

Answer 1

∠AFB＝90°，所以|AB|=√|AF|^2+|BF|^2>=|AF|+|BF|/√2
设A、B、M在准线上投影为A'、B'、M'
|MM'|=(|AA'|+|BB'|)/2
而由抛物线第二定义：抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离
所以|AA'|=|AF| |BB'|=|BF|
|MM'|=(|AF|+|BF|)/2
根据三角形余弦定理：|AB|^2=|AF|^2+|BF|^2-2|AF||BF|COS120=(|AF|+|BF|)^2-|AF||BF|
>=(|AF|+|BF|)^2-(|AF|+|BF|)/2)^2=3/4(|AF|+|BF|)^2
当且仅当AF=BF时
所以MAX=三分之根号三

追问

大哥你敢不复制吗？

为什么最后一个基本不等式成立？

详述，谢谢！

Answer 2

过A,B分别作抛物线准线的垂线分别交与A1，B1，可以得出MN为中位线，MN=1/2（AA1+BB1），
AA1=AF,BB1=BF,所以MN=1/2（AF+BF）
根据三角形余弦定理：AB^2=AF^2+BF^2-AF*BFCOS120
=(AF+BF)^2-AF*BF

MN ^2 = 1/4（AF+BF）^2
先求平方比 MN ^2 / (AB^2),可以令AF=a,BF=b,代入即可不等式的求最大值问题。
答案为 三分之根号三（a=b时）

求采纳！！！