Question

如图,在平行四边形ABCD中,点E为BC的中点,连接AE并延长DC的延长线于点F.

(1)求证:AC=BF (2)当角D与角AFD满足什么数量关系时四边形ABCF是矩形,说明理由!

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Answer 1

DF和AB平行，可知∠ECF=∠ABE，又因∠AEB=∠FEC，E为BC中点，BE=EC，所以三角形ABE和三角形FCE全等，所以AE=FE，因为BE=EC，AE=FE，∠AEC=∠FEB，所以三角形AEC和三角形FEB全等，所以AC=BF。
因为三角形ABE和三角形FCE全等，所以FC=AB，所以FC与AB平行且相等，所以ABFC为平行四边形。因为ABCD为平行四边形，所以AB=CD，所以FC=CD。
若ABCF为矩形，则∠ACF为直角，所以三角形AFC和三角形ADC全等，所以∠D和∠AFD须满足∠D=∠AFD。
证明当∠D=∠AFD时，四边形ABFC为矩形：
因为ABFC为平行四边形，所以AF=BC，因为BC=AD，所以AF=AD，因为FC=CD（前面已证明）所以三角形AFC和三角形ADC全等，所以∠ACF=∠ACD=180°/2=90°，所以平行四边形ABFC为矩形。