Question

已知函数f（x）=2的x次方-1/2的|x|次方

已知函数f（x）=2的x次方-1/2的|x|次方
（1）若f（x）=2，求x
（2）若2的t次方乘以f（2t）+mf≥0，对于t∈[1，2]恒成立，求m的取值范围。

Answer 1

2^x-2^(-x) x≥0
f(x)=
0 x<0
f（x）=2, 2^x-2^(-x)=2
所以2^x=(√3+1)/2 x=Log2(√3+1) -1
2^t*[2^2t-2^(-2t)]+mt≥0
令2^t=u,u∈[2,4] t=log2 u
则有u*(u²-1/u²)+mlog2 u=u³-1/u+mlog2 u≥0
mlog2 u≥1/u-u³，m≥(1/u-u³)/log2 u
易证函数g(u)=(1/u-u³)/log2 u是减函数
g(u)max=g(2)=1/2-8=-15/2
所以m≥g(u)max=-15/2
m的取值范围为[-15/2,+∞)