Question

数学题（组合）谁会？？

一个年级有7个班,考试时只允许其中3位老师监考自己的班级,则不同的监考方案有( )
A.105 B.90 C.315 D.420 E.650
给出具体解题步骤

Answer 1

选C
理由：
因为只允许3个老师可监考自己班级，所以可以先选定可监考自己班级的老师
共有C7,3种组合（逗号前在下，逗号后在上，以后均以此表示）
选好可监考自己班级老师后其余4个老师均不能监考自己班级
4个老师对班级监考总共有P4,4中排列，这还要减去监考自己班级的老师的排列。
4个老师，4个班级
如果4个老师均监考自己班级，可能性为1种
不存在3个老师均监考自己班级，1个不监考自己班级可能性
如果2个老师监考自己班级，其余两个老师班级互换监考可能性为C4,2种
如果1个老师监考自己班级，其余三个老师均不监考自己班级，则其余三个老师可以顺时针排，也可逆时针排2种，所以实际可能性为2*C4,1种

综合以上，其余4个老师均不能监考自己班级的可能性为
P4,4-(1+C4,2+2*C4，1)=4*3*2*1-(1+6+2*4)=24-15=9

所以不同监考方案为C7,3 * 9 =(7*6*5*9)/(3*2*1)=315种

追问

错排是怎么回事？

追答

定义: n个有序的元素应有n!个不同的排列,如若一个排列使得所有的元素不在原来的位置上,则称这个排列为错排,有的叫重排。
1 2 3 4的错排有
4 3 2 1，4 1 2 3，4 3 1 2，
3 4 1 2，3 4 2 1，2 4 1 3，
2 1 4 3，3 1 4 2，2 3 4 1。
第一列是4分别与1，2，3互换位置,其余两个元素错排.由此生成的。
第2列是4分别与3，1，2（123的一个错排）的每一个数互换而得到的。即
4 1 2 3，3 4 2 1 ，3 1 4 2
第三列则是由另一个错排231和4换位而得到,即
4 3 1 2， 2 4 3 1 ，2 3 4 1

设n个数1，2，…，n错排的数目为Dn, 任取其中一数i, 数i分别与其他的n-1个数之一互换，其余
n-2个数进行错排，共得(n-1)Dn-2个错排。另一部分为数i以外的n-1个数进行错排，然后i与其中每个数互换，得(n-1)Dn-1个错排。
综合以上分析结果得递推关系
Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2)， D1=0,D2=1

Answer 2

第一步，从7个中选3个的组合为35种，第二步n＝4的错排问题为9种
共有35×9＝315种，选C

Answer 3

我不知道呀，有知道的吗？