Question

设数列an的前n项和为sn 已知2Sn+1=Sn+λ(λ是常数)，a1=2,a2=1. 求an的通

设数列an的前n项和为sn 已知2Sn+1=Sn+λ(λ是常数)，a1=2,a2=1. 求an的通项公式

Answer 1

这个问题我以前已经回答过了的。百度知道搜就可以看到。

解：
2S2=S1+λ
2(a1+a2)=a1+λ
a1=2 a2=1代入
λ+2=2(2+1)
解得λ=4
2S(n+1)=Sn +4
2S(n+1)-8=Sn-4
[S(n+1)-4]/(Sn -4)=1/2，为定值
S1-4=a1-4=2-4=-2，数列{Sn -4}是以-2为首项，1/2为公比的等比数列
Sn -4=(-2)(1/2)^(n-1)=-1/2^(n-2)
Sn=4- 1/2^(n-2)
n≥3时，an=Sn-S(n-1)=4-1/2^(n-2) -4+1/2^(n-3)=1/2^(n-2)
n=1时，a1=1/2^(-1)=2；n=2时，an=1/2^0=1，均满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=1/2^(n-2)
(Sn -m)/[S(n+1)-m]=1/(am +1)
S(n+1)-m=(Sn -m)(am +1)=Sn·am+Sn -m·am -m
S(n+1)-Sn=Sn·am -m·am
a(n+1)=Sn·am-m·am
1/2^(n-1)=[4- 1/2^(n-2)][1/2^(m-2)]-m·[1/2^(m-2)]
等式两边同乘以2^(m-2)·2^(n-2)
2^(m-3)=2ⁿ -1-m·2^(n-2)
2^(m-3)+m·2^(n-2)=2ⁿ-1
n=1时，2^(m-3)+ m/2=1 2^(m-3)=1- m/2
2^(m-3)恒为正，要1- m/2为正，正整数m只能为1，此时
等式左边=2^(-2)=1/4，等式右边=1- 1/2=1/2 左边≠右边，舍去
n=2时，2^(m-3)+m=3 2^(m-3)=3-m
2^(m-3)恒为正，要3-m为正，正整数m只能为1或2，此时等式左边=1/4或1/2，等式右边为整数，左边≠右边，舍去
n≥3时，2^(n-2)恒为偶数，m·2^(n-2)恒为偶数，等式右边2ⁿ-1恒为奇数，要等式成立，2^(m-3)为奇数，又当且仅当m=3时，2^(m-3)=2^0=1，为奇数，m>3时，2^(m-3)恒为偶数，因此只有
m-3=0
m=3
此时等式变为3·2^(n-2)=2ⁿ-2
3·2^(n-3)=2^(n-1) -1
n≥3，2^(n-1)恒为偶数，2^(n-1) -1恒为奇数，要等式成立，3·2^(n-3)为奇数，又当且仅当n=3时，2^(n-3)=2^0=1，为奇数，n>3时，2^(n-3)恒为偶数，3·2^(n-3)恒为偶数，因此只有
n-3=0
n=3
综上，得m=3 n=3

我前一次回答的网址：http://zhidao.baidu.com/question/1818151717881786148.html?oldq=1