Question

含未知数的多项式除一个多项式怎么除.着急在线等

老师写的是 2x³+5x²-5x+1 除以 2x-1 等于 x²+3x-1 怎么出来的啊 有没有详细的步骤啊

Answer 1

原理是 辗转相除法

说白了和整数相除没区别，下面是一个例子

其实辗转相除法在其他数系也很常用，有兴趣看维基百科

下面是  维基百科“辗转相除法”词条里的多项式数系下的做法

只含有一个变量x的多项式可以和整数一样进行加法、乘法和化简成不可再化简的多项式（也就是多项式中的“素数”）。两个多项式a(x)和b(x)的最大公约数g(x)定义为它们分解之后共有的因式的乘积，这可以用辗转相除法进行计算。[127]对于多项式的算法和整数的算法很相似，在每个步骤k，计算出满足以下递归式的商多项式qk(x)和余数多项式rk(x)：

rk−2(x) = qk(x) rk−1(x) + rk(x)

其中r−2(x) = a(x)，r−1(x) = b(x)。所选择的商多项式必须能使qk(x) rk−1(x)的第一项和rk−2(x)的第一项相等，这样才能保证每个余数的次数小于前一个余数 deg[rk(x)] < deg[rk−1(x)]。因为多项式的次数是非负整数，并且在每一步都减小，所以辗转相除法的计算一定能在有限步内结束。最后一个非零余数即是两个多项式a(x)和b(x)的最大公约数。[128]

例如，有如下两个四次多项式，都可以分解成两个二次多项式的乘积：

a(x) = x4 − 4x3 + 4 x2 − 3x + 14 = (x2 − 5x + 7)(x2 + x + 2)

和

b(x) = x4 + 8x3 + 12x2 + 17x + 6 = (x2 + 7x + 3)(x2 + x + 2).

a(x)除以b(x)得到余数：

在下一步中，b(x)除以r0(x)得到r1(x) = x2 + x + 2。最终，r0(x)除以r1(x)得到的余数为0，所以r1(x)是a(x)和b(x)的最大公约数，这和它们因式分解的结果相符合。

上文所述的很多应用也适用于多项式。[129]辗转相除法可以解多项式的线性丢番图方程和中国剩余定理，也可以用来定义多项式的连分数展开式。

多项式的辗转相除法也有其他应用，如施图姆定理，一个用于计算多项式在给定区间内的实根个数的方法。这被应用于其他领域，如控制论的劳斯-赫尔维茨稳定性判据。

最后，多项式的系数不必局限于整数、实数、甚至复数。这些系数可以是其他域，如上文所述的有限域GF(p)。从辗转相除法得出的结论也可以直接推广至这类多项式。[127]