Question

已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图像关于直线x=1对称求f(0)的值 证明f(x)是周期函数

急救

Answer 1

对于定义域为R的奇函数，恒有f(0)=0

因为f(x)关于直线x=1对称

所以f(1+x)=f(1-x)
又f(x)是奇函数
所以f(1-x)=-f(-(1-x))=-f(x-1)

所以f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1)
即f(x+1)=-f(x-1)
f(x+2)=-f(x)

所以f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)

所以f(x)是周期函数

Answer 2

证明： 它的图像关于直线x=1对称
则 f(-x)=f(x+2)
而 f(x)是奇函数
则 f(-x)=-f(x)
所以 -f(x)=f(x+2)
即： f(x)+f(x+2)=0 ……(1)
f(x+2)+f(x+4)=0 ……(2)
(1)-(2)化简得 ：f(x)=f(x+4)
所以周期是 4

f（0）=0 明显，因为f（x）是奇函数

Answer 3

∵f(x)是奇函数，所以f(0)=-f(0)
∴f(0)=0
又∵f(x)关于x=1对称
∴f(1+x)=f(1-x)
又f(1-x)=-f(x-1)
∴f(x+1)+f(x-1)=0
∴f(x)是周期为4的函数

Answer 4

奇函数一定过(0,0)
它关于x=1对称
所以f(2)=0
因为它关于x=1对称，
所以x=1为单调性改变的点。
假设f(x)在(0,1)为增函数
所以f(x)在(1,1+)为减函数。
由于f(x)为奇函数
于是在(-1,0)增函数
(-1-,-1)为减函数
f(x)关于原点成中心对称。
由中心对称和轴对称得图f(x)的延续图像。
于是f(-1)=f(3)于是
f(x)=f(x+4)所以周期为4