Question

对于函数f(x)=[1/3^(x+1)+a],a属于R

Answer 1

（1）根据函数单调性定义，在 f(x) 的整个定义域(-∝,+∞)内，若 x1<x2，则 3^x1<3^x2，于是
f(x1)-f(x2)=1/[3(1+3^x1] -1/[3(1+3^x2)]=(1/3){(1+3^x2 -1-3^x1)/[(1+3^x1)(1+3^x2)]}
=(3^x2 -3^x1)/[3(1+3^x1)(1+3^x2)]>0，即 f(x) 随 x 增大而单调减小；
（2）假定存在实数 a 可使 f(x) 为奇函数，则按奇函数定义有 f(-x)=-f(x)；
则 1/[3(1+3^(-x)] +a=-1/[3(1+3^x)] -a；
2a=-1/[3(1+3^x)] -1/[3(1+3^(-x))]=-(1+3^x)/[3(1+3^x)]=-1/3；所以 a=-1/6；