Question

（2013•宁夏）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O交AC

于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．且BD=BF．（1）求证：AC与⊙O相切．（2）若BC=6，AB=12，求⊙O的面积．

Answer 1

证明：（1）连接OE，

∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∵BD=BF，
∴∠ODE=∠F，
∴∠OED=∠F，
∴OE∥BF，
∴∠AEO=∠ACB=90°，
∴AC与⊙O相切；

（2）解：由（1）知∠AEO=∠ACB，又∠A=∠A，
∴△AOE∽△ABC，
∴
OE
BC
＝
AO
AB
，
设⊙O的半径为r，则
r
6
＝
12−r
12
，
解得：r=4，
∴⊙O的面积π×42=16π．

追问

谢了

追答

OE：BC＝AO：AB