Question

设二次函数f(x)=x2-2x-1在区间[t.t+1]上的最小值是g(t)，求g(t)的表达式

Answer 1

解：f(x)图象开口向上，对称轴为x=1
(1)t+1<1即t<0时
x∈[t,t+1]为减函数，最小值为f(t+1)=(t+1)^2-2*(t+1)-1=x^2-2
(2)t>1时
x∈[t,t+1]为增函数，最小值为f(t)=t^2-2*t-1
(3)t≤1≤t+1即0≤t≤1时
最小值为f(1)=-2
综上：g(x)={
x^2-2，t<0
x^2-2*t-1，t>1
-2，0≤t≤1
}

Answer 2

解：f(x)对称轴为x=1
(1)t+1<1即t<0时
x∈[t,t+1]为单调递减函数，所以最小值为f(t+1)=(t+1)^2-2*(t+1)-1=x^2-2
(2)t>1时
x∈[t,t+1]为单调递增函数，所以最小值为f(t)=t^2-2*t-1
(3)t≤1≤t+1即0≤t≤1时
最小值为f(1)=-2

所以g(x)={
x^2-2，t<0
x^2-2*t-1，t>1
-2，0≤t≤1
}