Question

limx->0{【∫(下限为0,上限为x)sintdt/】/【∫(下限为0,上限为x)tdt/】}=?

limx->0{【∫(下限为0,上限为x)sintdt/】/【∫(下限为0,上限为x)tdt/】}=?
请朋友们说下过程吧，谢谢了
多打了两个"/" ，应是

limx->0{ [∫(下限为0,上限为x)sintdt] / [∫(下限为0,上限为x)tdt] }=?

Answer 1

最后再求极限，先求两个的积分
分子的积分很简单 = 1-cosx = 2[sin(x/2)]^2
分母的积分也很简单 = 0.5x^2
再求极限，此时sin(x/2)可以用x/2替代(当x趋向0时，这两个是等价无穷小量)，即 [2*(x/2)^2]/0.5x^2 = 1

Answer 2

追问

当x->0时-cosx趋近-1 不是0/0型吧，谢谢朋友，解释下吧

追答

不好意思，太心急了，没注意洛必达法则的适用条件，这一题结果应该是负无穷大。

Answer 3

＝1。
这是关于积分上限函数求导数的极限问题，且属于0/0型未定式，用洛必达法则后成为第一重要极限

追问

请朋友说下过程吧，刚学积分，谢谢了
原式=limx->0(-cosx)/(x^2/2)吧
当x->0时-cosx趋近-1 不是0/0型吧

追答

因为x→0时，分子、分母的积分上限都→0（下限），而积分的上下限相等时，积分为0，所以x→0时，所求极限为0/0型未定式。用洛必达法则就要分子、分母分别求导。积分上限为常数、上限为x所得积分为x的函数，求导结果就是被积函数（此时要把被积分函数中的自变量换成上限记号x）。

你的“原式=limx->0(-cosx)/(x^2/2)吧”的分子错了，分子应该是1-cosx，因为cos0=1。

追问

上面的朋友也跟我一样，分子为（-cosx）。当x->0时-cosx趋近-1 不是0/0型吧

是题出错了吧，谢谢朋友们了，再帮我看看吧